Geometri Datar Segi-n

          

A.     Pengertian segi banyak

Segi banyak (segi- n )adalah bangun yang dibatasi oleh n buah sisi. Segi- n dikelompokkan atas segi- n tak beraturan dan segi- n beraturan. Unsur-unsur segi- n antara lain: sisi, titiksudut dan diagonal. Diagonal adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak berturutan.Pada segi- n terdapat n buah sisi dan n buah titik sudut.Segi-banyak disebut juga poligon.

Nama-nama poligon menurut banyaknya sisi:

Banyak sisi	Nama poligon		Banyaknya sisi	Nama poligon
3	segitiga		8	oktagon
4	segiempat		9	nonagon
5	pentagon		10	Dekagon
6	heksagon		12	Dodekagon
7	heptagon		N	n-gon

1.       Segi Banyak Beraturan

Segi banyak beraturan adalah segi-n yang semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besar atau merupakan bangun datar  yang memiliki segi yang beraturan dan jumlahnya lebih dari empat segi. Contoh: segienam beraturan, segidelapan beraturan, segisepuluh beraturan dan seterusnya.

2.      Segi Banyak Tak Beraturan

Segi banyak tak beraturan adalah segi-n yang sisi-sisinya tidak sama panjang dan sudut-sudutnya tidak sama besar atau merupakan bangun datar yang memiliki segi yang tidak beraturan dan jumlahnya lebih dari tiga segi. Contoh: segi lima, segi tujuh, dan seterusnya yang sisi serta sudutnya tidak sama panjang dan tidak sama besar.

B.     Sifat-Sifat Segi-n

1.    Dari sebuah titik sudut suatu segi-n dapat ditarik n-3 buah diagonal

       Pembuktian:

     Pada suatu segi-n, tentukan sebuah titik-sudut, misal sudut A. Kemudian buatlah ruas garis melalui titik A dan titik sudut yang lain, maka terdapat  buah  ruas garis. Dua ruas garis (yang titik-titiknya berturutan dengan A) merupakan 2 buah sisi dari segi-n tersebut.

Jadi, banyaknya ruas garis yang merupakan diagonal yang melalui titik A adalah (n-1) - 2 = n - 3.

2.      Banyaknya diagonal dalam segi-n adalah ½ n (n-3)

Pembuktian:

                       Pada segi-n, dari satu titik sudut dapat dibuat (n-3) diagonal. Dari n buah titik sudut dapat dibuat  n( n-3)  diagonal. Setiap diagonal dihitung atau digambar dua kali,  satu dibuat berdasarkan titik sudut sebagai pangkal ruas garis dan satu lagi dibuat berdasarkan titik sudut sebagai ujung ruas garis. Jadi, banyak semua diagonal yang dapat dibuat dalam segi-n adalah ½ n (n-3) buah diagonal. Perhatikan segi-5 ABCDE berikut ini.

Dari gambar di atas maka dari titik sudut A ada 2 diagonal (yaitu ke titik sudut C dan titik sudut D), dari titik sudut B ada 2 diagonal (yaitu ke titik sudut D dan titik sudut E), dari titik sudut C ada 1 diagonal (yaitu ke titik sudut E), titik sudut D dan E sudah tidak ada diagonal lagi. Maka segi-5 terdapat 5 buah diagonal bidang.

Perhatikan gambar segi-6 ABCDEF di bawah ini

Dari gambar di atas maka dari titik sudut A ada 3 diagonal (yaitu ke C, D, dan E), dari titik sudut B ada 3 diagonal (yaitu ke D, E dan F), dari titik sudut C ada 2 diagonal (yaitu ke E dan F), dari titik sudut D ada 1 diagonal (yaitu ke F). Titik sudut E dan F sudah tidak ada diagonal lagi.

Jika diperhatikan, maka akan terlihat sebuah pola bilangan sebagai berikut:

d segi-3 = 0 + 0 + 0 = 0

d segi-4 = 1 + 1 + 0 + 0 = 2

d segi-5 = 2 + 2 + 1 + 0 + 0 = 5

d segi-6 = 3 + 3 + 2 + 1 + 0 + 0 = 9

d segi-n = (n-3) + (n-3) + (n-4) + (n-5) + .... + 3 + 2 + 1

Jika kita buat barisan bilangannya seperti berikut:

0, 2, 5, 9, . . . .

Dengan melihat pola bilangan seperti itu maka untuk menghitung banyaknya diagonal pada segi-n beraturan, dapat memakai rumus:

d segi-n = 1/2 x [n x (n - 3)]

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menghitung banyaknya diagonal bidang untuk segi-n beraturan silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

1. Berapa banyaknya diagonal pada Segi-50 beraturan?

Penyelesaian:

d segi-n = 1/2 x [n x (n - 3)]

d segi-50 = 1/2 x [50 x (50 - 3)]

d segi-50 = 1/2 x 50 x 47

d segi-50 = 1175 buah

3.      Jumlah sudut dalam suatu segi-n adalah  (n-2).180⁰

Pembuktian:

Dalam segi-n, tentukan satu titik sudut dan gambarkan semua diagonal yang melalui titik sudut tersebut, maka akan terbentuk sebanyak  (n-2)  buah segitiga.

Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180⁰, maka jumlah sudut dari (n-2) buah segitiga adalah (n-2).180⁰.

Jadi, jumlah sudut-sudut dalam segi-n  adalah (n-2).180⁰.

4.      Besar sebuah sudut dalam segi-n beraturan adalah 1/n.(n-2).180⁰

   Pembuktian:

Jumlah sudut-sudut dalam segi-n  adalah (n-2).180⁰. Pada segi-n beraturan, besar n buah sudut dalamnya sama besar, maka besar setiap sudut dalam segi-n adalah 1/n.(n-2)180⁰.

5.      Jumlah semua sudut luar segi-n beraturan adalah 360⁰

Pembuktian:

Besar sebuah sudut dalam dan sebuah sudut luar segi-n adalah 180⁰. Terdapat n buah titik sudut, maka jumlah n pasangan sudut dalam dan sudut luar segi-n adalah n x 180⁰. Sedangkan jumlah n sudut dalam segi-n  adalah (n-2) x 180⁰. Jadi jumlah n sudut-luar segi-n adalah (n x 180⁰)-{(n-2) x 180⁰} = 2 x 180⁰ = 360⁰.

C.     Menghitung Luas dan Keliling Segi-n Beraturan

Sebuah segi-n beraturan (n > 3) dapat dibuat dari segitiga sama kaki yang kongruen sebanyak n, karenanya luas segi-n beraturan adalah n kali luas segitiga sama kaki, yaitu:

L = n. LΔ

Sementara keliling segi-n beraturan adalah

K = n . s

Dimana s adalah panjang sisi segi-n beraturan

Rumus cepat menghitung luas segi-n beraturan

D.     Contoh Soal

              1. Tentukan Luas Segi lima dibawah ini!

             Jawab :

            Luas  segi lima = 5 x Luas segitiga

                         = 5 x 1/2 x alas x tinggi

                         = 5 X 1/2 x10 cm x 8 cm

                         = 5 X 40

                         = 200 cm² 

             Jadi luas dari  segi lima tersebut adalah 200 cm²

             Keliling segi lima disamping = 5x 10 cm= 50 cm

              2. Tentukan luas segi 12 beraturan jika diketahui jari- jari lingkaran luar adalah 8 cm !

            Diketahui :

            Segi-12 beraturan

            Jari-jari lingkaran luar r = 8 cm

            Ditanya:
            Luas segi-12 beraturan?

            Mencari sudut pusat

            Sudut pusat α = 360°/12

            Diperoleh α = 30°

            Menghitung luas segitiga

            Ingat rumus luas segitiga yang diketahui dua sisi dan satu sudut.

            Karena segitiga sama kaki maka kedua sisi tersebut adalah r.

              ⇔Luas Δ = 1/2 x r x r x sin α

              ⇔Luas Δ = 1/2  x 8 x 8 x sin 30°

         ⇔Luas Δ = 1/2 x 64 x 1/2

              ∴Luas Δ = 16 cm²

            FINAL STEP menghitungluas segi-12 beraturan

              ⇔Luas segi-12 beraturan = 12 x Luas Δ

              ⇔Luas segi-12 beraturan = 12 x 16

              ∴Luas segi-12 beraturan = 192 cm²

             3.  Berapakah banyaknya diagonal padasegi 24 beraturan ?

                                  Penyelesaian:

             4.  Keliling suatu segi 6 beraturan adalah 72 cm. luas  segi enam tersebut adalah.

           Karena  keliling = sisi x n, maka untuk mencari sisi adalah 
           Keliling = n, jadi

          72/6     = 12 cm            

       Karena bangun segi enam jadi yang terbentuk adalah segitiga sama sisi maka semua sisinya 
           12 cm

           Luasnya adalah :

1.      Mencari sudut pusat

360^o/6= 60^o

2.      Mencari luas segitiga

3.     Luas Segi Enam

5. Keliling segi 12 beraturan dengan panjang jari jari lingkaran luar 8 cm adalah